Tempo esposizione massimo per foto astronomiche senza inseguimento con la Canon 40D

Come molti di voi cercando di capire per quanto tempo potevo esporre una foto senza avere le scie delle stelle mi sono imbattuto nella formula del 600:

\begin{equation}T_{max\ exp}=\frac{600}{F}\end{equation}

nel quale si evidenza che il tempo massimo di esposizione T_{max\ exp} si calcola dividendo 600 per la lunghezza focale dell'obiettivo o telescopio. Dopo alcuni risultati non buoni con le prime foto da treppiede mi sono domandato se la formula fosse corretta nel mio caso e ho cercato di calcolare questo tempo per la mia Canon 40D.

Il punto di partenza è che voglio impressionare un solo pixel con una stella e per far questo devo calcolare il tempo impiegato dalla Terra per far spostare da un pixel all'altro della mia fotocamera. Il sensore CMOS APS-C della 40D ha una distanza tra i pixel di 5,7\mu m (fonte) e partendo dalla formula che mette in relazione la lunghezza focale F dell'obiettivo con la distanza d tra i pixel con l'angolo \theta dall'equatore celeste e il tempo t di apertura

\begin{equation}d=t\frac{Fcos(\theta)}{13750}\end{equation}

otteniamo l'esposizione massima t in secondi per impressionare solo un pixel.

Nota matematica!

Per dimostrare la formula basta considerare il concetto di velocità angolare  \omega che approssimiamo come costante nel moto della terra intorno al sole e che in un giorno siderale composto da un periodo T di 23 ore 56 minuti e 4 secondi o anche 86164s, otteniamo che un angolo \theta viene percorso nel tempo t in

\begin{equation}\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\theta}{t}\end{equation}

da cui

\begin{equation}t=\frac{\theta}{\omega}=\theta\frac{T}{2\pi}\end{equation}

in  base a considerazioni di ottica geometrica classica abbiamo che

\begin{equation}\frac{D}{x}=\frac{d}{F}\end{equation}

da cui

\begin{equation}t=\frac{d}{F}\frac{T}{2\pi}\end{equation}

COMPLETARE DIMOSTRAZIONE

Nella seguente tabella alcuni valori di esempio per alcuni lunghezze focali

esposizione d all'equatore (s) esposizione d al 45° (s) lunghezza focale obiettivo (mm) regola del 600
4,35 8,71 18 33,3
3,14 6,27 25 24
1,57 3,14 50 12
0,78 1,57 100 6
0,39 0,78 200 3
0,26 0,52 300 2

Come potete vedere i tempi sono molto brevi e si discostano molto dai tempi della regola del 600, di circa un fattore 10 per stelle all'equatore celeste. In pratica con tempi 10 volte superiori avremo circa 10 pixel impressionati. Questo può essere ragionevole se si pensa che 2-3 pixel fa sembrare puntiforme una stella.

Nel seguente esempio il particolare di una foto fatta con lo zoom 70-300 a 210mm per un secondo:

2013_02_19_orione2_iso1800_1s_210mm_f49_zoom200

il piccolo riquadro sotto la stella sinistra è grande di 4x4 pixel che mostra come questa sia larga circa 2-3 pixel coerente con quanto indicato nella formula (2). Se vediamo la foto ridotta a circa 1000 pixel di lato, quindi un quarto dell'originale,

2013_02_19_orione2_iso1800_1s_210mm_f49_zoom100

il risultato è ottimo.

Come potete vedere sono diverse le considerazione da fare prima di poter dire quale sia effettivamente il reale tempo massimo di esposizione, a mio avviso è utile utilizzare la formula (2) invece della semplicistica regola del 600 per avere foto che hanno 2-3 pixel impressionati per stella.